Racionalización de radicales

Cuando nos encontramos con unas fracciones que tienen raíces o radicales en el denominador, lo primero que vamos a hacer es quitar del denominador cualquier radical, obteniendo una fracción equivalente.

Nos podemos encontrar varios casos distintos en los que aparece una raíz en el denominador.

• Cuando solo existe una raíz con un elemento que la multiplique: $\frac{a}{b\cdot \sqrt[n]{c}}$ tenemos que multiplicar toda la fracción por la raíz que tenemos en el denominador a la potencia $n-1$: $\frac{a}{b\cdot \sqrt[n]{c}}\cdot\frac{\left (\sqrt[n]{c}\right )^{n-1}}{\left (\sqrt[n]{c}\right )^{n-1}}$
• Ejemplo: $\frac{3}{5\sqrt{3}}=\frac{3}{5\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{3^2}}=\frac{3\sqrt{3}}{5\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{5}$
• Si el denominador contiene dos términos en el que al menos uno es un radical: $\frac{a}{b+x\sqrt{c}}$ o $\frac{a}{b-x\sqrt{c}}$ o $\frac{a}{x\sqrt{b}+y\sqrt{c}}$ siendo $x$ e $y$ cualquier número que multiplica la raíz. En este caso lo que hacemos es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. *El conjugado significa que se multiplica por lo mismo pero con el símbolo contrario. $\frac{a}{x\sqrt{b}+y\sqrt{c}}= \frac{a}{x\sqrt{b}+y\sqrt{c}}\cdot \frac{x\sqrt{b}-y\sqrt{c}}{x\sqrt{b}-y\sqrt{c}}$
• Ejemplo:$\frac{7}{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}}=\frac{7}{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{3}-6\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-6\sqrt{2}}=\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{\left ( 2\sqrt{3} \right )^2-\left ( 6\sqrt{2} \right )^2}=\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{4\cdot 3-36\cdot 2}=\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{12-72}=$
$\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{-60}=\frac{7\sqrt{3}-21\sqrt{2}}{-30}$

Nota: Un fallo común que soléis tener es que cuando tenéis una expresión como $\left ( a\sqrt{b} \right )^2$se os olvida hacer $a^2$ también. El resultado sería $a^2·b$.

En estos ejercicios os soléis confundir mucho porque no aplicáis las fórmulas de las identidades notables y tenéis que hacerlo. Para recordar cómo son podéis pinchar aquí.